📝 상세 정리

• inner product는 angle도 정의할 수 있다.
  • 코시-슈바르츠 부등식을 사용하면 벡터 $x, y$ 간의 내적에서의 각도 $\omega$를 정의할 수 있다.
  • $x \neq 0, y \neq 0$ 임을 가정하면
  • $-1 \leq \frac{\langle x, y \rangle}{||x|| ||y||} \leq 1$ 이다. 따라서 유일한 각도 $\omega \in [0, \pi]$ 가 결정 가능함을 알 수 있고,
  • $\cos{\omega} = \frac{\langle x, y \rangle}{||x|| ||y||}$ 와 같다.
• 두 벡터간의 각도는 두 벡터의 방향이 얼마나 유사한지 알려준다.
• 또한 두 벡터간의 직교(orthogonality)를 도출할 수 있다.
  • 만약 $\langle x, y \rangle = 0$ 이라면 두 벡터 $x, y$를 orthological 한다고 한다.
  • 이에 더해 $||x|| = ||y|| = 1$ 이라면 $x, y$를 orthonormal 한다고 한다.
• 정사각 행렬 $A \in R^{N \times N}$ 이 orthonormal할때 아래 식이 성립한다면 $A$를 orthogonal matrix(직교 행렬) 이라고 한다.
  • $AA^T = I = A^TA$
    • 여기서 $A^{-1} = A^T$임도 증명 가능하다!
• 직교 행렬은 다음과 같은 특별함을 가진다.
  • 직교 행렬을 사용한 변환에서 $x$의 길이는 변하지 않는다.
    • $||Ax||^2 = ||x||^2$
  • 두 벡터의 각도도 변하지 않는다.

❔질문 사항

🔗 참고 자료