3.2 Inner Product

📝 상세 정리

내적 (Inner Product)를 정의해보자.
고등학교 시절에 배운 내적은 사실 Inner Product중 특수한 한 형태로, Dot Product 라고 한다.
- $x^Ty = \sum_{i=1}^n x_iy_i$
- 하지만 내적에는 더 일반적인 개념이 있다.
Positive definite 이면서 symmetric한 bilinear mapping $\Omega: V \times V \rightarrow R$ 을 $V$에서의 Inner Product라 부른다.
- 각 개념들을 하나하나 이해해보자.
Bilinear mapping $\Omega$ 는 두 arguement에 대해 Linear한 mapping이다.
$\Omega: V \times V \rightarrow R$ 에 대해
- $x, y \in V$ 에서 $\Omega(x, y) = \Omega(y, x)$ 이라면 $\Omega$를 symmetric이라고 부른다.
- $\forall x \in V-\{0\}: \Omega(x, x) > 0, \Omega(0, 0) = 0$ 이라면 $\Omega$를 posiitive definite라고 부른다.
위의 내용을 종합하면, 결국 내적은 Symmetric, positive definite한 행렬 하나로 결정된다.
다시 말해, $⟨x, y⟩ = \hat{x}^T A \hat{y}$로 정리할 수 있겠다.

❓ Question